Límite de una función de varias variables

Con el concepto de dominio de una función de varias variables hemos sido capaces de respondernos a la pregunta:

¿Qué valor adopta la función f(x,y) cuando (x,y) vale (x₀,y₀)?

El concepto de límite de una función de varias variables en un punto nos dará respuesta a la pregunta:

¿A qué valor se acerca la función f(x,y) cuando (x,y) se acerca al valor (x₀,y₀)?

La notación del cálculo de un límite de una función de varias variables es: .

Para que exista la posibilidad de calcular el límite debemos tener presente varias cosas:...

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Dominio de funciones de varias variables

Si recordamos el concepto de dominio que vimos para las funciones reales y lo adaptamos al contexto de las funciones de varias variables, podemos dar como definición.

Entendemos como dominio de una función de varias variables aquellos puntos del espacio origen para los cuales la función puede evaluarse.

 Efectivamente si nos fijamos en los siguientes ejemplos de funciones f:R²→R

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Introducción a las funciones de varias variables

En Física es muy frecuente encontrarnos en situaciones donde la magnitud a estudiar depende de más de una variable. Efectivamente, si la región de estudio no es unidimensional y contemplamos el estudio en un plano, a la variable x se le debe añadir una nueva variable, llamémosla y, con lo que tendremos entonces como variablegenérica de la función a puntos (x,y). Si el estudio es en el espacio tridimensional, añadimos las variables y, z, y tendremos puntos (x,y,z). Por ejemplo: ...


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Polinomio de Taylor de la función coseno

Vamos a calcular el polinomio de Taylor de la función coseno  en el punto x₀=0 hasta un gradon genérico.

Primero calculamos el valor en el punto 0 de la función coseno y las sucesivas derivadas.

…

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Polinomio de Taylor de la función seno

Vamos a calcular el polinomio de Taylor de la función seno  en el punto x₀=0 hasta un grado ngenérico.

Primero calculamos el valor en el punto 0 de la función seno y las sucesivas derivadas.

…

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Polinomio de Taylor de la función exponencial

Vamos a calcular el polinomio de Taylor de la función exponencial  en el punto x₀=0 hasta un grado n genérico.

Primero calculamos el valor en el punto 0 de la función exponencial y las sucesivas derivadas.

...

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Polinomio de Taylor

Un campo muy importante en matemáticas es el de la aproximación de funciones. Una de las herramientas utilizadas para ello es el llamado polinomio de Taylor, que consiste en que dada una función f(x) se propone la expresión de un polinomio que sustituya a la propia función f(x). Dado que ambas funciones no son realmente la misma en la aproximación se comete un cierto error. La validez de dicha aproximación dependerá del error cometido. Siempre que el entorno de trabajo nos determine que el error cometido en dicha sustitución es aceptable, la aproximación la consideraremos como válida.

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Indeterminación infinito menos infinito

La indeterminación infinito menos infinito viene generada por una expresión del tipo resta de funciones donde ambas tienen como límite infinito. La transformación a realizar es la siguiente...


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Indeterminaciones exponenciales

Las indeterminaciones exponenciales vienen generadas por una expresión del tipo potencia entre funciones donde:

1. La función base tienen como límite 1 y la función exponente infinito(indeterminación uno elevado a infinito).
2. La función base tienen como límite 0 y la función exponente también 0(indeterminación cero elevado a cero).
3. La función base tienen como límite infinito y la función exponente 0(indeterminación infinito elevado a cero).


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Libros de matemáticas

Se ha creado una nueva sección en el sitio web en la que se dispone de una biblioteca de matemáticas. La biblioteca arranca con una selección de 40 libros que poco a poco iré ampliando.

Al entrar en la página encontrareis el carrusel "Últimas novedades" en el que se muestran los libros de matemáticas más populares en Amazon. El carrusel se actualiza cada vez que se accede a la página .

Si quieres ver a la lista completa de libros dispones también del apartado "Recomendamos" en donde tienes la lista completa de libros.

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Indeterminación cero por infinito

La indeterminación cero por infinito viene generada por una expresión del tipo producto de dos funciones donde una de ellas tiene como límite 0 y la otra infinito.

La expresión se puede transformar de 2 maneras...

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Regla de l’Hôpital

La regla de L’Hôpital nos permite abordar la resolución de las indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones. En resumen nos plantea lo siguiente...

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Relación entre una función y sus sucesivas derivadas

La operación de derivación efectuada a una función f(x) puede realizarse también al resultado de ésta, es decir, podemos volver a derivar la derivada def(x), en ese caso obtenemos la segunda derivada de f(x). Si repetimos el proceso al nuevo resultado, obtendríamos la tercera derivada, y así sucesivamente obteniendo las sucesivas derivadas de la función f(x).

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Significado geométrico de la derivada de una función

Sabemos qué representa conceptualmente la derivada de una función en un punto y cómo calcularla. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿tiene el cálculo de la derivada de una función algún significado geométrico respecto a la propia función? La respuesta es que sí. Veamos cuál.

Nos planteamos trazar la recta secante a una función en dos puntos de la misma (x0,y0) y (x1,y1). Gráficamente tenemos...


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Cálculo de la derivada de una función en un punto

Para obtener el cálculo de la derivada de una función en un punto no se usa la definición anterior. Aplicando a las funciones más habituales el límite que define a la derivada de una función se genera la tabla de derivadas y sus propiedades, siendo la herramienta de cálculo más adecuada para cualquier derivada.

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Derivada de una función

Para comprender el concepto de derivada de una función veamos un ejemplo cotidiano de función.

Si pensamos en la velocidad de un vehículo, y en el hecho de que dicha velocidad puede variar según la variable tiempo, tenemos pues la función v(t).

Pero ¿qué mide exactamente la velocidad?. La respuesta es sobradamente conocida, la rapidez de desplazamiento del vehículo. Ahora bien, ¿cómo se mide dicha rapidez?.

Para ello dividimos la distancia recorrida por el intervalo de tiempo empleado en recorrerla. Es decir, si consideramos la función x(t) como la función posición del vehículo en función del tiempo, una medida de la velocidad de recorrido entre (t0,t1) es...

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Clasificación de las discontinuidades de una función

En el estudio de continuidad de una función, además de detallar el conjunto de puntos donde la función es continua, también se suelen clasificar los puntos donde la función presenta discontinuidades.

Veamos las categorías de discontinuidades y los criterios de clasificación.

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Estudio de la continuidad de una función

Para realizar el estudio de la continuidad de una función ( Cont f ) partiremos siempre del cálculo previo del dominio ( Dom f ) de la misma (incluso aunque en el ejercicio académico no se exija explícitamente). Una vez obtenido el Dom f, se nos pueden presentar dos casos:

1. Si la función está definida por una única expresión.
2. Si la función está definida a trozos.

Veamos cómo aplicar dicho protocolo de estudio en dos casos concretos...

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Continuidad de una función

En ejemplo 8 y ejemplo 9 hemos podido apreciar dos casos de cálculo de límites donde se pone de manifiesto a su vez el concepto de continuidad y discontinuidad de una función en un punto. Efectivamente, si revisamos cada uno de los casos tenemos que...


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Cálculo de límites

A la hora de calcular el límite de una función no haremos uso de la definición anterior. ¿Cómo se procede entonces?

Para calcular el límite de una función en general seguiremos el siguiente protocolo...


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Operaciones de matrices

Suma de matrices

Para sumar dos matrices, A + B, es necesario que ambas sean de la misma dimensión. La operación se realiza sumando elemento a elemento.


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Introducción a las matrices

Las matrices son estructuras rectangulares de valores numéricos. En función del conjunto a que pertenezcan los valores numéricos tendremos matrices de:enteros, reales, complejos.

Los elementos de la matriz se simbolizan mediante un par de subíndices. El primero indica la fila a la que pertenece el elemento, y el segundo la columna. De tal forma la siguiente matriz tiene m filas y n columnas ...


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Límite de una función

Con los conceptos de dominio y recorrido de una función hemos sido capaces de respondernos a la pregunta: ¿qué valor adopta la función f(x)cuando x vale x0?

El concepto de límite de una función en un punto nos dará respuesta a la pregunta:

¿A qué valor se acerca la función f(x) cuando x se acerca al valor x0?


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Cálculo de dominios

Dominios de:

Cociente entre funciones
Raíz cuadrada de una función
Logaritmos de funciones
Función trigonométrica tangente
Función trigonométrica arcoseno o arcocoseno
Funciones que combinan las expresiones anteriores


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Dominio y recorrido de una función

En la definición de función del apartado anterior podemos observar, aún tratándose de funciones reales de variable real, que ni el conjunto inicial ni el final tienen porqué coincidir con todos los reales. La propia definición especifica que la aplicación se establecerá entre subconjuntos de R.
Al subconjunto inicial de la aplicación le llamamos dominio de la función f. Al subconjunto final le llamamos recorrido de la función f.
Debemos entender la necesidad de ambos conceptos debido a que una vez concretada la expresión analítica que define a una función puede ocurrir que...


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Introducción a las funciones reales

Es muy frecuente encontrarnos en situaciones cuyo contexto no es matemático y utilizar frases como: la dilatación de tal cuerpo es función de la temperatura, o también, la distancia de frenado del vehículo es función de la velocidad.
En ambas frases aparece la expresión función, y además esta palabra nos sugiere...


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